历史上的今天 > 1906年4月28日,哥德尔诞辰

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  哥德尔诞辰(Kurt F. Gödel, 1906-1978)

  自从十九世纪中期,黎曼等人推翻了两千多年来颠扑不破的平行公设后,数学家们明白不能再凭直觉接受所谓不证自明的公设或定理,决心从地基开始,重新打造完美无瑕的数学体系。希尔伯特在一九二〇年代提出的「希尔伯特计划」明白地订出目标:用严格的形式化语言表达所有数学陈述,并能满足完备性与一致性。

  所谓完备性就是指系统内的合法陈述都能被证明真伪,而一致性则是要求这个系统不能推导出互相矛盾的结论。这不是应有的基本要求吗?是没错,在有限度的范围内或许没问题,但是要确保一个完整的体系完全满足这两个条件可不容易,如前面所说,不能再任意定出一些公设,必须小心翼翼地确定每一步都在坚实的水泥地上;所以罗素与怀海德才会花了十年的时间只完成《数学原理》的前三册,而其中光证明1+1=2就花了362页!

  即使困难,大家仍乐观地努力追寻这个圣杯,就像希尔伯特1930年退休时发表演说的结语词:「我们必须知道,我们将会知道!」

  不料,就在第二年,25岁的年轻奥地利数学家哥德尔发表了一篇石破天惊的论文。他证明了任何一个足够强的公设系统不可能同时具有一致性与完备性,也就是具有一致性的系统必定存在无法证明真伪的陈述;而且这个系统无法证明本身的一致性(只能从系统外部证明它没自相矛盾)。

  这个「哥德尔不完备定理」摧毁了数学界与哲学界的一贯信念,正式宣判圣杯只是幻影,任何努力只是徒劳,大家可以散矣!冯·纽曼闻之当下即叹:「一切都结束了。」

  哥德尔因此跻身大师之列,却始终孤僻沉默。二次大战爆发后,他也逃离德国,来到普林斯顿研究所,与大他27岁、个性大相径庭的爱因斯坦成为挚友,常可看见两人一起散步校园的身影。爱因斯坦晚年曾说自己的工作没啥意思,进研究室就只为了有荣幸同哥德尔一起散步回家。而哥德尔竟也研究起物理,还得出广义相对论中一个允许时间旅行回到过去的解。

  哥德尔晚年得了严重的妄想症,老怀疑别人要毒害他,只肯吃妻子亲手作的食物。但她于1977年中病倒住院后,哥德尔就只吃简单的食物,拒绝朋友的探访。等到被强迫送到医院时,体重仅剩30公斤,最后于1978年1月14日因营养不良而器官衰竭过世。堪称亚里斯多德以降最伟大的逻辑学家,就这么孤独地与世长辞。

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